【УМК «Человек»】Математика, 9 класс, 1 полугодие: Случайное и необходимое в жизни: классификация и анализ событий

Добро пожаловать в мир вероятностей! Раньше мы жили в мире геометрической определённости: при заданных радиусе $r$ и расстоянии $d$, положение точки на окружности будет однозначным. Но в реальности, когда мы бросаем кубик или тянем жребий, результаты часто наполнены «случайностью». На этом уроке мы научимся классифицировать такие явления с помощью математического языка.

От определённости к случайности

В математике, исходя из возможности события при определённых условиях, мы можем разделить события на три категории:

1. Неизбежное событие

При определённых условиях,оно обязательно произойдётсобытие. Например: в одной окружности диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. При выполнении условий (перпендикулярность и прохождение через центр), результат (деление пополам) происходит с вероятностью 100%.

2. Невозможное событие

При определённых условиях,оно обязательно не произойдётсобытие. Например: согласно теореме об угле, опирающемся на дугу, вписанный угол больше центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вероятность появления такого события равна 0.

3. Случайное событие

При определённых условиях,оно может произойти, а может и не произойтисобытие. Например: при бросании кубика выпадает шестёрка. До совершения действия мы не можем точно предсказать результат.

Геометрическая симметрия и равновероятность

Осевая, центральная и поворотная симметрия окружности (тема: симметрия окружности) символизируют идеальное равновесие. Это логически соответствует предпосылке о «равномерной» случайной экспериментальной ситуации в теории вероятностей. Когда мы говорим, что кубик честный, на самом деле мы предполагаем, что его физическая симметрия приводит к равновероятности исходов.

🎯 Ключевая мысленная модель

Ключевым моментом при определении типа события является:определённые условиявывод — «единственный и однозначный» или «возможны разные варианты».

ВОПРОС 1

Радиус окружности ⊙O составляет 10 см. Определите положение точки P относительно ⊙O по расстоянию от точки P до центра O: (1) 8 см; (2) 10 см; (3) 12 см.

(1) Внутри окружности; (2) На окружности; (3) Вне окружности

(1) На окружности; (2) Внутри окружности; (3) Вне окружности

(1) Вне окружности; (2) На окружности; (3) Внутри окружности

(1) Внутри окружности; (2) Вне окружности; (3) На окружности

ВОПРОС 2

Определите, какие из следующих событий являются неизбежными, невозможными или случайными: (1) при нагревании воды до 100 °C она закипает; (2) баскетболист промахивается при одном броске с линии штрафных; (3) при бросании кубика выпадает шестёрка; (4) при произвольном рисовании треугольника сумма его внутренних углов равна 360°; (5) при прохождении перекрёстка с светофором загорается красный свет; (6) стрелок при одном выстреле попадает в мишень.

Неизбежные: (1); Невозможные: (4); Случайные: (2)(3)(5)(6)

Неизбежные: (1)(4); Невозможных нет; Случайные: (2)(3)(5)(6)

Неизбежные: (1); Невозможные: (2)(4); Случайные: (3)(5)(6)

Неизбежные: (1); Невозможные: (4)(5); Случайные: (2)(3)(6)

ВОПРОС 3

Известно, что соотношение площадей суши и океана на поверхности Земли составляет примерно 3:7. Если метеорит упал на Землю, то какое событие более вероятно — падение на сушу или на океан?

Более вероятно, что он упадёт в океан

Более вероятно, что он упадёт на сушу

Оба события одинаково вероятны

Невозможно определить

ВОПРОС 4

В таблице приведены результаты бросков одного игрока: количество попыток $n$ (50, 100, 150, 200, 250, 300, 500); количество попаданий $m$ (28, 60, 78, 104, 123, 152, 251). Какова примерная вероятность попадания этого игрока?

0.5

0.6

0.4

0.7

ВОПРОС 5

Какое из следующих утверждений о случайных событиях является верным:

Частота появления случайного события — это его вероятность

Нельзя заранее предсказать, произойдёт ли случайное событие при одном испытании

Неизбежные события не относятся к определённым событиям

Вероятность появления невозможного события равна 1